Kleisli Tripleとモナドの対応

概要

3つ組$ (T,\eta,(-)^*)

3つ組$ (T,\eta,\mu)

見ればわかるように、前2つ$ T,\etaは全く同じものなので、$ (-)^*と$ \muの対応付けができればいい

①クライスリトリプル→モナド

関係$ (-)^*から、自然変換$ \mu:T\circ T\to Tを作る

射の族$ \mu=\{\mathrm{id}^*_{TA}:TTA\to TA|A\in \mathrm{Ob}_\mathscr{A}\}

が自然変換$ \mu:T\circ T\to Tになる

このとき3つ組$ (T,\eta,\mu)はモナドになる

Kleisli Tripleの定義の図的理解の延長っぽく描くとこんな感じになる

https://gyazo.com/996d56c0fe0e9d305f4e4f92eb7c3e5d

いつもの自然変換の感じの図で描くとこうなる

https://gyazo.com/dee07adf4c3ecabfb275fc6a5db7e000

$ (-)^*から$ \etaが導かれるところに着目するmrsekut.icon

この$ \muが自然変換になることを確かめないといけないmrsekut.icon

②モナド→クライスリトリプル

写像$ (-)^*:\mathrm{Hom}_\mathrm{A}(A,TB)\to \mathrm{Hom}_\mathrm{A}(TA,TB)を

$ f^*=\mu_B\circ Tfで定義すると、

$ (T,\mu,(-)^*)はクライスリトリプルになる

①と②は互いに逆の関係になる

参考